Nicoz

Les maths, c’est fantastique : on peu démontrer tout, et surtout n’importe quoi ! Voici quelques démonstrations étonnantes, qui paraissent justes mais qui sont loin de l’être, avec les explications qui vont avec.

2 = 3

Première fausse démonstration, . Pour chercher l’erreur, il faut prendre la démonstration ligne par ligne. Tout d’abord, on donne , ce qui est juste. Ensuite, on a . Là encore, il n’y a pas d’erreurs, les deux membres de l’équation valent -6. Troisième ligne, on ajoute à chaque membre, on en a tout à fait le droit. C’est toujours parfaitement juste. À la quatrième ligne, on organise chaque membre pour préparer la factorisation grâce à l’identité remarquable . On effectue la factorisation à la cinquième ligne. C’est toujours correct. On met chaque membre de l’équation sous la racine, afin d’annuler le carré. La sixième ligne est juste. Cependant, : le passage de la sixième à la septième ligne est faux. Il aurait fallu faire :

1 = 2

On arrive à , ce qui est évidemment faux. Prenons la démonstration ligne par ligne. On définit tout d’abord ; jusque là, tout va bien. On multiplie chaque membre de l’équation par , c’est autorisé, puis on simplifie l’écriture à la troisième ligne. À la quatrième ligne, on retire à chaque membre ; on en a le droit, c’est donc toujours correct. On factorise à gauche grâce à l’identité remarquable , et à droite par . C’est le passage vers la sixième ligne qui est faux. En effet, puisque qu’on retrouve un facteur de chaque côté du signe égal, on est tenté de simplifier. Cependant, , or la simplification suppose une division implicite par . On sait bien qu’il est impossible (et interdit) de diviser par 0, la démonstration est donc fausse.

1 = 0,999999…

On arrive donc à la conclusion surprenante que 1 = 0,9999999…, ce qui, pour une fois, est totalement juste. On peut démontrer un peu plus rigoureusement :

En fait, tout nombre décimal admet deux développements décimaux illimités : on peut ajouter une infinité de zéro (c’est le développement décimal illimité propre), ou bien retrancher 1 à la dernière décimale non nulle et rajouter une infinité de 9 (c’est le développement décimal illimité impropre). À titre d’exemple, les deux développement décimaux illimités de 12,3 sont donc 12,30000000… (propre) et 12,29999999… (impropre). Il peut aussi être intéressant de noter que les réels non décimaux n’ont qu’un seul développement décimal illimité (pi = 3.1415… par exemple).